凸函数是数学中非常重要的概念，它在优化理论、经济学和工程学等领域有着广泛的应用。凸函数的定义和证明是数学分析中的重要内容，下面我们将以三维函数z=(x+y)^2为例，介绍如何用凸函数的定义来证明它是凸函数。

首先，我们来回顾一下凸函数的定义。在数学上，一个函数f(x)被称为凸函数，如果对于任意的x1、x2和任意的t∈[0,1]，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)成立。这个定义可以直观地理解为函数图像上的任意两点连线都位于函数图像上方。

接下来，我们来证明函数z=(x+y)^2是凸函数。首先我们需要证明这个函数的二阶偏导数是非负的，因为凸函数的二阶导数是非负的。我们计算z=(x+y)^2的二阶偏导数，得到∂^2z/∂x^2=2，∂^2z/∂y^2=2，∂^2z/∂x∂y=2。显然，这些偏导数都是非负的。

最后，我们需要证明函数z=(x+y)^2满足凸函数的定义。我们可以通过计算函数z=(x+y)^2的Hessian矩阵来证明其凸性。Hessian矩阵是一个二阶偏导数矩阵，对于函数z=(x+y)^2来说，它的Hessian矩阵为[2 2; 2 2]。由于Hessian矩阵是正定的，这意味着函数z=(x+y)^2是凸函数。

综上所述，我们通过计算函数z=(x+y)^2的二阶偏导数和Hessian矩阵，证明了这个函数是凸函数。这个例子展示了如何用凸函数的定义和二阶偏导数来证明一个函数的凸性，这对于理解凸函数的性质和在实际问题中应用凸函数具有重要的意义。