前言

今天来讲一下损失函数——交叉熵函数，什么是损失函数呢？大体就是真实与预测之间的差异，这个交叉熵（Cross Entropy）是Shannon信息论中一个重要概念，主要用于度量两个概率分布间的差异性信息。在信息论中，交叉熵是表示两个概率分布 p，q 的差异，其中 p 表示真实分布，q 表示预测分布，那么 \(H(p,q)\) 就称为交叉熵：

\(H(p,q) = -\sum_{i=0}^n p(i)ln^{q(i)}\)

交叉熵是一种常用的损失函数，特别适用于神经网络训练中。在这种函数中，我们用 p 来表示真实标记的分布，用 q 来表示经过训练后模型预测的标记分布。通过交叉熵损失函数，我们可以有效地衡量模型预测分布 q 与真实分布 p 之间的相似性。

交叉熵函数是逻辑回归（即分类问题）中常用的一种损失函数。

前置知识

有些同学和我一样，长时间没有接触数学，已经完全忘记了。除了基本的加减乘除之外，对于交叉熵函数中的一些基本概念，他们可能只记得和符号。今天我会和大家一起回顾一下，然后再详细解释交叉熵函数。首先，我们来简单了解一下指数和对数的基本概念。

指数

\(x^3\) 是一个典型的立方函数，大家对平方和立方可能都有所了解。指数级增长的函数具有特定的增长规律，让我们更深入地记忆和理解它们的分布特性。

这个概念非常简单，无需举例子来说明。重要的是要记住一个关键点：指数函数的一个特殊性质是它们都经过点（0,1），这意味着任何数的0次幂都等于1。

对数

好的，铺垫已经完成了。现在让我们继续探讨对数函数的概念。前面讲解了指数函数，对数函数则是指数函数的逆运算。如果有一个指数函数表达式为 \(y = a^x\) ，那么它的对数表达式就是 \(x = \log_a y\) 。为了方便表示，我们通常将左侧的结果记为 \(y\) ，右侧的未知函数记为 \(x\) ，因此对数函数最终表示为 \(y = \log_a x\) 。为了更加深刻地记忆这一点，让我们看一下它的分布图例。

当讨论指数函数时，我们了解到其图像在( (0,1) ) 处穿过横轴。然而，当我们转而讨论对数函数时，其表示形式导致了这一点被调换至( (1,0) )，因此对于对数函数而言，它的恒过点即为( (1,0) )。

剩下关于对数的变换我就不再详细讲解了。现在让我们深入探讨一下熵的概念。

交叉熵函数

熵

在探讨交叉熵之前，我们先来了解一下熵的概念。熵是根据已知的实际概率计算信息量的度量，那么信息量又是什么呢？

信息论中，信息量的表示方式： \(I(x_j) = -ln^{(px_j)}\)

\(x_j\) ：表示一个事件。

\(px_j\) ：表示一个事件发生的概率。

\(-ln^{(px_j)}\) ：表示某一个事件发生后会有多大的信息量，概率越低，所发生的信息量也就越大。

这里为了更好地说明，我来举个例子。比如说有些人非常喜欢追星。那么，按照一般的逻辑来说，我们可以谈谈明星结婚这件事的概率分布：

从上面的例子可以看出，如果一个事件的概率很低，那么它所带来的信息量就会很大。比如，某某明星又离婚了！这个消息的信息量就非常大。相比之下，“奋斗”事件的信息量就显得小多了。

按照熵的公式进行计算，那么这个故事的熵即为：

熵： \(H(p) = -\sum_j^n(px_j)ln^{(px_j)}\)

计算得出： \(H(p) = -[(px_1)ln^{(px_1)}+(px_2)ln^{(px_2)}+(px_3)ln^{(px_3)}] = -[0.7*0.36+0.2*1.61+0.1*2.3] = 0.804\)

相对熵(KL散度)

上面我们讨论了熵的概念及其应用，熵仅考虑了真实概率分布。然而，我们的损失函数需要考虑真实概率分布与预测概率分布之间的差异。因此，我们需要进一步研究相对熵（KL散度），其计算公式为：

\(H(p) = \sum_j^n(px_j)ln^{(px_j) \over (qx_j)}\)

哎，这其实就是在原先的公式中加了一个 \(q(x_j)\) 而已。对了，这里的 \(q(x_j)\) 指的是加上了预测概率分布 \(q\) 。我们知道对数函数的对称点是（1,0）。因此，很容易推断出，当真实分布 \(p\) 和预测分布 \(q\) 越接近时，KL散度 \(D\) 的值就越小。当它们完全相等时，KL散度恒为0，即在点（1,0）。这样一来，我们就能够准确地衡量真实值与预测值之间的差异分布了。但是没有任何一个损失函数是能为0 的。

当谈到相对熵已经足够时，为何需要进一步讨论交叉熵呢？让我们继续深入探讨这个问题。

交叉熵

重头戏来了，我们继续看下相对熵函数的表达式： \(H(p) = \sum_j^n(px_j)ln^{(px_j) \over (qx_j)}\)

这里注意下， \(log^{p \over q}\) 是可以变换的，也就是说 \(log^{p \over q}\) = \(log^p -log^ q\) ，这么说，相对熵转换后的公式就是：$H(p) = \sum_j ^n(px_j)ln - \sum_j ^n(px_j)ln = -H(p) + H(p,q) $

当我们考虑到 \(H(p)\) 在处理不同分布时并没有太大作用时，这是因为 \(p\) 的熵始终保持不变，它是由真实的概率分布计算得出的。因此，损失函数只需专注于后半部分 \(H(p,q)\) 即可。

所以最终的交叉熵函数为： \(-\sum_j^n(px_j)ln^{(qx_j)}\)

这里需要注意的是，上面显示的是一个样本计算出的多个概率的熵值。通常情况下，我们考虑的是多个样本，而不仅仅是单一样本。因此，我们需要在前面添加样本的数量，最终表示为： \(-\sum_i^m\sum_j^n(px_j)ln^{(qx_j)}\)

代码实现

这里主要使用Python代码来实现，因为其他语言实现起来没有必要。好的，让我们来看一下代码示例：

import numpy as np

def cross_entropy(y_true, y_pred):
    # 用了一个最小值
    epsilon = 1e-15
    y_pred = np.clip(y_pred, epsilon, 1 - epsilon)
    
    # Computing cross entropy
    ce = - np.sum(y_true * np.log(y_pred))
    return ce

# Example usage:
y_true = np.array([1, 0, 1])
y_pred = np.array([0.9, 0.1, 0.8])

ce = cross_entropy(y_true, y_pred)
print(f'Cross Entropy: {ce}')

这里需要解释一下为什么要使用一个最小值。因为对数函数的特性是，其参数 ( x ) 可以无限接近于0，但不能等于0。因此，如果参数等于0，就会导致对数函数计算时出现错误或无穷大的情况。为了避免这种情况，我们选择使用一个足够小的最小值作为阈值，以确保计算的稳定性和正确性。

总结

在本文中，我们深入探讨了交叉熵函数作为一种重要的损失函数，特别适用于神经网络训练中。交叉熵通过衡量真实标签分布与模型预测分布之间的差异，帮助优化模型的性能。我们从信息论的角度解释了交叉熵的概念，它是基于Shannon信息论中的熵而来，用于度量两个概率分布之间的差异。

在讨论中，我们还回顾了指数和对数函数的基本概念，这些函数在交叉熵的定义和理解中起着重要作用。指数函数展示了指数级增长的特性，而对数函数则是其逆运算，用于计算相对熵和交叉熵函数中的对数项。

进一步探讨了熵的概念及其在信息论中的应用，以及相对熵（KL散度）作为衡量两个概率分布差异的指标。最后，我们详细介绍了交叉熵函数的定义和实际应用，以及在Python中的简单实现方式。

通过本文，希望读者能够对交叉熵函数有一个更加深入的理解，并在实际应用中运用此知识来优化和改进机器学习模型的训练效果。